یکشنبه 90 مرداد 9 , ساعت 9:8 عصر
اقلیدس ریاضیدان یونانی،پسر نوقطرس بن برنیقس،ریاضیدان و منجم بزرگ تاریخ علم،به سال 323 ق.م متولد شد،وی از تبار فنیقی و نخستین رئیس بخش ریاضیات بود، در زبان یونانی اقلی به معنی کلید و دس به معنای هندسه و اقلیدس به معنای کلید هندسه است،در آن زمان مرگ اسکندر فرا رسید و سردارانش برای کسب قدرت با یکدیگر جنگیدند. بطلمیوس یکی از سرداران اسکندر بود که مصر را گرفت و در آن جا تشکیل حکومت داد. وی از علم و دانش حمایت می کرد و دانشمندان و دوستداران علم و دانش را دعوت می کرد تا در اسکندریه اقامت کنند.
اقلیدس بیش از 30 سال نداشت که به خواهش و درخواست بطلمیوس برای تدریس به اسکندریه رفت و در این شهر مکتب فلسفی خود را پایه گذاری کرد. اقلیدس مردی محبوب، آرام، فروتن و نیکوکار بود و در حضور مستبدان و سرداران زورگو در نهایت صراحت صحبت می کرد. بطلمیوس فرمانروای مصر هنگامی که خواست هندسه را بیاموزد آن را دشوار دید و ترجیح داد که از راه ساده تری به فهم آن موفق شود، بنابر این از اقلیدس پرسید: آیا امکان دارد قضایا را به نحو ساده تری بیان کرد؟ اقلیدس به وی جواب داد: غیر ممکن است، در هندسه راه مخصوص شاهانه وجود ندارد!
وی به مادیات اهمیت چندانی نمی داد.زمانی که شاگردی از وی پرسید که از هندسه چه نفعی می بریم؟در پاسخ به وی رو به غلامی کرد و گفت که به شاگردش یک اوبولوس بدهد زیرا که وی می خواهد از آنچه که می خواند بهره ببرد.وی بسیار متواضع و مهربان بود.
در حدود 300 ق.م ،اقلیدس مدرسه ای را در اسکندریه بنا می کند که به مرکز مطالعات علمی یونان مبدل می گردد.
کتاب مقدمات اقلیدس یا کتاب هندسه که سه قرن قبل از میلاد به نگارش در آمده، به زبان های مختلف دنیا ترجمه شده است و از آن زمان که فن چاپ مرسوم شد تا به حال بیش از2000 بار چاپ گردیده است.زمانیکه این کتاب منتشر شد، چنان نویسنده اش را مشهور کرد که تا20 قرن بعد هرگونه تغییر در آن به معنی توهین به مقدسات عالم محسوب می شد. تامدتها مردم بر این تصور بودند که اصل موضوع های اقلیدس هیچ گاه قابل تغییر نیست و تغییر در آن صورت نمی گیرد، اما دانشمندان برجسته ای چون ریمان لباچفسکی، علم ریاضیات را توسعه دادند و هندسه هایی غیراقلیدسی ارائه کردند.اقلیدس نابغه برجسته ای بود که ذوق سرشاری در زمینه تدوین داشت و این مطلب را می توان با مطالعه کتاب (نور) به خوبی متوجه شد.
قرن پنجم شاهد اوج قدرت ادبی یونان، قرن چهارم شاهد شکوفایی فلسفه و قرن سوم شاهد تکامل علوم بود. سلاطین بیش از دموکراسیها نسبت به تحقیقات علمی گذشت و مساعدت روا می‌داشتند. اسکندر کاروانهایی مرکب از جدولهای نجومی بابلی به شهرهای یونانی سواحل آسیا فرستاد که به زودی به زبان یونانی ترجمه شدند. بطالسه موزه‌ی مطالعات عالی را بر پا داشتند و علوم و ادبیات فرهنگهای مدیترانه‌ای را در کتابخانه‌ی کتابخانه‌ی بزرگ خود متمرکز کردند. بطالسه موزه‌ی مطالعات عالی را بر پا داشتند. آپولونیوس مقاطع مخروطی خود را به آتالوس اول هدیه کرد،و ارشمیدس تحت حمایت هیرون دوم به تعیین نسبت محیط دایره به قطر آن و محاسبه‌ی تعداد ماسه‌هایی که برای پر کردن جهان لازم است پرداخت.
با وجود تمامی اینها،موفقترین علم نزد آن زمان هندسه بود.اقلیدس متعلق به این دوره می باشد.حدود 2000 سال است که اقلیدس با علم هندسه یاد می کنیم.ارشمیدس از دانشمندان باستان نیز دورانی را در نزد شاگردان اقلیدس به تحصیل علم پرداخت و به ریاضیات اشتیاق فراوانی یافت.
اقلیدس بیش از 30 سال نداشت که به خواهش و درخواست بطلمیوس برای تدریس به اسکندریه رفت و در این شهر مکتب فلسفی خود را پایه گذاری کرد. اقلیدس مردی محبوب، آرام، فروتن و نیکوکار بود و در حضور مستبدان و سرداران زورگو در نهایت صراحت صحبت می کرد. بطلمیوس فرمانروای مصر هنگامی که خواست هندسه را بیاموزد آن را دشوار دید و ترجیح داد که از راه ساده تری به فهم آن موفق شود، بنابر این از اقلیدس پرسید: آیا امکان دارد قضایا را به نحو ساده تری بیان کرد؟ اقلیدس به وی جواب داد: غیر ممکن است، در هندسه راه مخصوص شاهانه وجود ندارد!
وی به مادیات اهمیت چندانی نمی داد.زمانی که شاگردی از وی پرسید که از هندسه چه نفعی می بریم؟در پاسخ به وی رو به غلامی کرد و گفت که به شاگردش یک اوبولوس بدهد زیرا که وی می خواهد از آنچه که می خواند بهره ببرد.وی بسیار متواضع و مهربان بود.
در حدود 300 ق.م ،اقلیدس مدرسه ای را در اسکندریه بنا می کند که به مرکز مطالعات علمی یونان مبدل می گردد.
کتاب مقدمات اقلیدس یا کتاب هندسه که سه قرن قبل از میلاد به نگارش در آمده، به زبان های مختلف دنیا ترجمه شده است و از آن زمان که فن چاپ مرسوم شد تا به حال بیش از2000 بار چاپ گردیده است.زمانیکه این کتاب منتشر شد، چنان نویسنده اش را مشهور کرد که تا20 قرن بعد هرگونه تغییر در آن به معنی توهین به مقدسات عالم محسوب می شد. تامدتها مردم بر این تصور بودند که اصل موضوع های اقلیدس هیچ گاه قابل تغییر نیست و تغییر در آن صورت نمی گیرد، اما دانشمندان برجسته ای چون ریمان لباچفسکی، علم ریاضیات را توسعه دادند و هندسه هایی غیراقلیدسی ارائه کردند.اقلیدس نابغه برجسته ای بود که ذوق سرشاری در زمینه تدوین داشت و این مطلب را می توان با مطالعه کتاب (نور) به خوبی متوجه شد.
قرن پنجم شاهد اوج قدرت ادبی یونان، قرن چهارم شاهد شکوفایی فلسفه و قرن سوم شاهد تکامل علوم بود. سلاطین بیش از دموکراسیها نسبت به تحقیقات علمی گذشت و مساعدت روا می‌داشتند. اسکندر کاروانهایی مرکب از جدولهای نجومی بابلی به شهرهای یونانی سواحل آسیا فرستاد که به زودی به زبان یونانی ترجمه شدند. بطالسه موزه‌ی مطالعات عالی را بر پا داشتند و علوم و ادبیات فرهنگهای مدیترانه‌ای را در کتابخانه‌ی کتابخانه‌ی بزرگ خود متمرکز کردند. بطالسه موزه‌ی مطالعات عالی را بر پا داشتند. آپولونیوس مقاطع مخروطی خود را به آتالوس اول هدیه کرد،و ارشمیدس تحت حمایت هیرون دوم به تعیین نسبت محیط دایره به قطر آن و محاسبه‌ی تعداد ماسه‌هایی که برای پر کردن جهان لازم است پرداخت.
با وجود تمامی اینها،موفقترین علم نزد آن زمان هندسه بود.اقلیدس متعلق به این دوره می باشد.حدود 2000 سال است که اقلیدس با علم هندسه یاد می کنیم.ارشمیدس از دانشمندان باستان نیز دورانی را در نزد شاگردان اقلیدس به تحصیل علم پرداخت و به ریاضیات اشتیاق فراوانی یافت.
آثار اقلیدس:
اقلیدس مجموعه ای از 13 کتاب را به نام اصول تالیف می کند(کتابهای اول و دوم خلاصه‌ای از کارهای فیثاغورس در هندسه به دست می‌دهند، کتاب سوم کارهای بقراط خیوسی،کتاب پنجم کارهای ائودوکسوس، کتابهای چهارم، ششم و یازدهم و دوازدهم کارهای فبثاغورسیان متأخر و دانشمندان هندسه‌ی یونانی، کتابهای هفتم تا دهم از ریاضیات عالی بحث می‌کنند.)،این کتابها همچنین زیر بنای ریاضیات جدید را پی می نهند.
که مهمترین کتاب او می باشد و به عربی ترجمه شده و در سراسر اروپا و خاور میانه گسترش یافت . کتاب اصول وی در زمینه هندسی یونانی ، جبر و نظریه اعداد نوشته شده است . که شامل 13 مقاله و 465 قضیه می باشد و در زمینه دایره ، خط راست ، هندسه فضایی صفحه و کره ، اشکال منتظم ، اعداد گنگ ، استفاده از خط کش و پرگار در ترسیمات و ..... می باشد که البته اقلیدس مطالب و نظریه های جدید عنوان نکرده بلکه همان نظریه های دانشمندان پیشین خود را به صورت قضایا و برهانهای منطقی عنوان نموده است. در این کتابها بدون هیچ مقدمه ی خاصی به تعریف ساده ی قضیه،سپس به فرضیه های لازم،و بالاخره به بدیهیات یا علوم متعارف می‌پرازد.
به پیروی از دستورات افلاطون، خود را مقید به ارقام و شواهدی می‌نمود که جز خط‌کش و پرگار ابزاری نخواهد. اصول مجموعه کتابی است که تنها کتابی که از لحاظ دوام تاریخی با آن برابر است «انجیل» است.
بسیاری از ریاضیدانان برجسته نخستین گرایش خود را به ریاضیات مدیون کتاب اصول اقلیدس هستند یکی از روشهایی که اقلیدس در این کتاب به کار برده است برهان خلف می باشد برای مثال اگر الف دروغ باشد پس ب راست است . ب دروغ است پس الف راست است . اثر مفقود اقلیدس، ((مقاطع مخروطی))، خلاصه‌ی مطالعات منایخموس، آریستایوس و دیگران در رشته‌ی مخروطات است.
اقلیدس مجموعه ای از 13 کتاب را به نام اصول تالیف می کند(کتابهای اول و دوم خلاصه‌ای از کارهای فیثاغورس در هندسه به دست می‌دهند، کتاب سوم کارهای بقراط خیوسی،کتاب پنجم کارهای ائودوکسوس، کتابهای چهارم، ششم و یازدهم و دوازدهم کارهای فبثاغورسیان متأخر و دانشمندان هندسه‌ی یونانی، کتابهای هفتم تا دهم از ریاضیات عالی بحث می‌کنند.)،این کتابها همچنین زیر بنای ریاضیات جدید را پی می نهند.
که مهمترین کتاب او می باشد و به عربی ترجمه شده و در سراسر اروپا و خاور میانه گسترش یافت . کتاب اصول وی در زمینه هندسی یونانی ، جبر و نظریه اعداد نوشته شده است . که شامل 13 مقاله و 465 قضیه می باشد و در زمینه دایره ، خط راست ، هندسه فضایی صفحه و کره ، اشکال منتظم ، اعداد گنگ ، استفاده از خط کش و پرگار در ترسیمات و ..... می باشد که البته اقلیدس مطالب و نظریه های جدید عنوان نکرده بلکه همان نظریه های دانشمندان پیشین خود را به صورت قضایا و برهانهای منطقی عنوان نموده است. در این کتابها بدون هیچ مقدمه ی خاصی به تعریف ساده ی قضیه،سپس به فرضیه های لازم،و بالاخره به بدیهیات یا علوم متعارف می‌پرازد.
به پیروی از دستورات افلاطون، خود را مقید به ارقام و شواهدی می‌نمود که جز خط‌کش و پرگار ابزاری نخواهد. اصول مجموعه کتابی است که تنها کتابی که از لحاظ دوام تاریخی با آن برابر است «انجیل» است.
بسیاری از ریاضیدانان برجسته نخستین گرایش خود را به ریاضیات مدیون کتاب اصول اقلیدس هستند یکی از روشهایی که اقلیدس در این کتاب به کار برده است برهان خلف می باشد برای مثال اگر الف دروغ باشد پس ب راست است . ب دروغ است پس الف راست است . اثر مفقود اقلیدس، ((مقاطع مخروطی))، خلاصه‌ی مطالعات منایخموس، آریستایوس و دیگران در رشته‌ی مخروطات است.
هندسه ی اقلیدسی:
اقلیدس واضع علم هندسه به شمار می رود. قبل از وی یونانیان و مصریان و بابلیان و اقوام دیگر- از راه تجربه – اطلاعاتی در باب اشکال هندسی و حقایق مربوط به آنها داشتند. ولی این اطلاعات هندسی به صورت مجموعه ای از احکام متفرق بود که هر یک مستقلاً و جدا از سایرین، مورد نظر قرار می گرفت. بدیهی است که این گونه اطلاعات پراکنده و متفرق را نمی توان علم نامید. اقلیدس، با کشف روابط منطقی این احکام و استنتاج بعضی از آنها را از بعضی دیگر اطلاعات پراکنده و جداگانه ی مذکور را تنطیم و تکمیل کرد. از همین جا است که او را پدر و واضع علم هندسه می دانند. «اقلیدس علم هندسه را بر روش قیاسی بنا نهاد. هندسه ی اقلیدسی با چند تعریف و اصل موضوع شروع می شود و سپس استخراج قضایا می آید. تعاریفی که اقلیدس می آورد از این قبیل است:
نقطه آن است که جزء ندارد.
«خط طول بلاعرض است.»
«ولی اقلیدس تمام حدود وارد در علم هندسه را تعریف می کند. مثلاً کلماتی را که در دو تعریف مذکور به کار رفته، از قبیل جزء و طول و عرض تعریف نکرده است. اینها از حدود اولیه ی دستگاه اقلیدس است. در تعریفات بعدی از حدودی که قبلاً تعریف شده کمک گرفته می شود. مثلاً وی خط مستقیم را چنین تعریف می کند:
«خط مستقیم خطی است که بین دو انتهای خود هموار باشد.». «اقلیدس در تأسیس علم هندسه احکامی چند را بدون دلیل می پذیرد. وی این احکام را به دو دسته تقسیم می کند که عبارتند از اصل موضوع ها و علوم متعارفی، ولی دلیلی برای این تقسیم اقامه نمی نماید. شاید وی بعضی از احکام مذکور را کلی تر یا واضح تر از بعضی دیگر می پنداشته است. در هر حال هندسه ی اقلیدسی نه فقط مدعی بوده که تمام قضایای آن نتیجه ی منطقی اصل موضوع ها و علوم متعارفی است و مانند آنها راست است، بلکه مدعی بداهت اصل موضوع ها و علوم متعارفی نیز بوده است. این تقسیم بندی در علوم قیاسی امروز منسوخ است. تئوری های قیاسی مدعی آن نیستند که اصل موضوع های آنها فی لبداهه راست است، بلکه هر حکمی از یک تئوری قیاسی که بدون اثبات در آن تئوری پذیرفته شود، اصلی موضوعی از آن تئوری محسوب می شود.
بر اساس هندسه اقلیدس که آن را هندسه مسطحه ودو بعدى مىخوانند جهان، نامحدود و بىمرز است، این دیدگاه از اصل پنجم برخاسته است که بر اساس آن: دو خط موازى ومستقیم اگر تا بىنهایت هم امتداد یابند هیچگاه همدیگر را قطع نمىکنند و فاصلهشان همواره ثابت است. اصل پنجم اقلیدس این است: «اگر خطى بر دو خط راست فرو افتد با آنها دو زاویه بسازد، چنان که مجموعشان از دو قائمه کمتر باشد، وقتى که آن دو خط به طور نامتناهى امتداد داده شوند، در طرفى که زاویههاى کوچکتر از دو قائمه قرار دارند به یکدیگر مىرسند».
بسیارى از دانشمندان کوشیدند اصل پنجم اقلیدس را چون چهار اصل دیگر اثبات کنند و موفق نشدند، از جمله مردانى که در اثبات این اصل تلاش کردند:
ابوالحسن ثابتبن قره حرانى (221 تا 288ه.ق) پزشک، ریاضىدان، اختر شناس و مترجم نامدار بود، وى با روشى که پس از او ابوعلى حسن، مکنى به ابن هیثم،معروف به بصرى (354تا 420ه.ق) پزشک، فیزیکدان، ریاضىدان و بزرگترین محقق در شاخهى نورشناسى فیزیک به کار گرفت و همچنین:حکیم ابوالفتح عمر خیام نیشابورى (439 تا 526ه.ق) حکیم، فیلسوف، شاعر، اخترشناس و ریاضىدان(همه در اصل پنجم اقلیدس تردید داشتند)، هر کدام خواستند به نحوى آن را اثبات کنند ولى توفیق به دست نیاوردند.
خواجه نصیرالدین حکیم والا مقام خطهى طوس(597 تا 672ه.ق) منجم، ریاضىدان، سیاستمدار و نویسنده زبردست نیز در اثبات اصل پنجم به نتیجهاى نرسید، وى شرحى به عربى بر اقلیدس و رسالهاى دربارهى اصلهاى اقلیدسى نوشت و در بررسى اصل پنجم و براى اثبات آن به اهمیت قضیهى «مجموع زاویههاى مثلثبرابر دو قائمه است» توجه کرده و خواست از این روى کرد نتیجه بگیرد.
جان والیس(1616 تا 1703م) به کار خواجه نصیرالدین و شیوهى استدلال او دلبستگى پیدا کرده و در سال 1651م استدلال او را در کلاس درس دانشگاه اکسفورد به کار برد.
ولی آنگونه که گویند: خود اقلیدس از این اصل و دست آوردهاى آن ناخشنود بود وچشم به پیدایش هندسه نا اقلیدسى دوخت.
کار دیگر و جالبی که توسط خیام انجام شد، نقد و بحثی بود که وی درباره مسائل هندسی که اقلیدس مطرح و اصول هندسی که اقلیدس آنها را تدوین کرده بود، انجام داد. وی به بحث در خصوص تاریخچه بحثهای هندسی در یونان پرداخت و نظرات جدیدی در خوصوص برخی اصول، نظیر اصل مهم هندسه اقلیدسی یعنی اصل توازی مطرح کرد. خیام در این دوره بحثی را آغاز کرد که بعدها باعث گسترش مفهوم عدد شد. در این دوره اعدادی که شناخته شده بودند تنها بخشی از عددهای حقیقی را در بر می گرفتند و هنوز اعداد اصم شناخته شده نبودند. خیام با بحثی که بر سر تعریف نسبت – که در کتاب اصول اقلیدس آمده است بیان می کند تعریف اسلامی نسبت عروف شده جایگزین میکند و سپس با توجه به تعریف جدید مفهومی از نسبت قطر یک مربع به ضلع آن را ارائه می کند. امروزه این عدد را می شناسیم و به عنوان عددی اصم از آن یاد می کنیم؛ اما در زمان خیام این موجودات وجود نداشتند و خیام بر این عقیده بود که باید برای آنها رده جدیدی از اعداد در نظر گرفته شود. تا تعریف نسبت بتواند به طور فراگیر و کامل ادراک شود. این بحثی بود که سرانجام شکافهای موجود در محور اعداد حقیقی را کاهش داد و باعث شد بحث اعداد حقیقی مطرح شود.
نقطه آن است که جزء ندارد.
«خط طول بلاعرض است.»
«ولی اقلیدس تمام حدود وارد در علم هندسه را تعریف می کند. مثلاً کلماتی را که در دو تعریف مذکور به کار رفته، از قبیل جزء و طول و عرض تعریف نکرده است. اینها از حدود اولیه ی دستگاه اقلیدس است. در تعریفات بعدی از حدودی که قبلاً تعریف شده کمک گرفته می شود. مثلاً وی خط مستقیم را چنین تعریف می کند:
«خط مستقیم خطی است که بین دو انتهای خود هموار باشد.». «اقلیدس در تأسیس علم هندسه احکامی چند را بدون دلیل می پذیرد. وی این احکام را به دو دسته تقسیم می کند که عبارتند از اصل موضوع ها و علوم متعارفی، ولی دلیلی برای این تقسیم اقامه نمی نماید. شاید وی بعضی از احکام مذکور را کلی تر یا واضح تر از بعضی دیگر می پنداشته است. در هر حال هندسه ی اقلیدسی نه فقط مدعی بوده که تمام قضایای آن نتیجه ی منطقی اصل موضوع ها و علوم متعارفی است و مانند آنها راست است، بلکه مدعی بداهت اصل موضوع ها و علوم متعارفی نیز بوده است. این تقسیم بندی در علوم قیاسی امروز منسوخ است. تئوری های قیاسی مدعی آن نیستند که اصل موضوع های آنها فی لبداهه راست است، بلکه هر حکمی از یک تئوری قیاسی که بدون اثبات در آن تئوری پذیرفته شود، اصلی موضوعی از آن تئوری محسوب می شود.
بر اساس هندسه اقلیدس که آن را هندسه مسطحه ودو بعدى مىخوانند جهان، نامحدود و بىمرز است، این دیدگاه از اصل پنجم برخاسته است که بر اساس آن: دو خط موازى ومستقیم اگر تا بىنهایت هم امتداد یابند هیچگاه همدیگر را قطع نمىکنند و فاصلهشان همواره ثابت است. اصل پنجم اقلیدس این است: «اگر خطى بر دو خط راست فرو افتد با آنها دو زاویه بسازد، چنان که مجموعشان از دو قائمه کمتر باشد، وقتى که آن دو خط به طور نامتناهى امتداد داده شوند، در طرفى که زاویههاى کوچکتر از دو قائمه قرار دارند به یکدیگر مىرسند».
بسیارى از دانشمندان کوشیدند اصل پنجم اقلیدس را چون چهار اصل دیگر اثبات کنند و موفق نشدند، از جمله مردانى که در اثبات این اصل تلاش کردند:
ابوالحسن ثابتبن قره حرانى (221 تا 288ه.ق) پزشک، ریاضىدان، اختر شناس و مترجم نامدار بود، وى با روشى که پس از او ابوعلى حسن، مکنى به ابن هیثم،معروف به بصرى (354تا 420ه.ق) پزشک، فیزیکدان، ریاضىدان و بزرگترین محقق در شاخهى نورشناسى فیزیک به کار گرفت و همچنین:حکیم ابوالفتح عمر خیام نیشابورى (439 تا 526ه.ق) حکیم، فیلسوف، شاعر، اخترشناس و ریاضىدان(همه در اصل پنجم اقلیدس تردید داشتند)، هر کدام خواستند به نحوى آن را اثبات کنند ولى توفیق به دست نیاوردند.
خواجه نصیرالدین حکیم والا مقام خطهى طوس(597 تا 672ه.ق) منجم، ریاضىدان، سیاستمدار و نویسنده زبردست نیز در اثبات اصل پنجم به نتیجهاى نرسید، وى شرحى به عربى بر اقلیدس و رسالهاى دربارهى اصلهاى اقلیدسى نوشت و در بررسى اصل پنجم و براى اثبات آن به اهمیت قضیهى «مجموع زاویههاى مثلثبرابر دو قائمه است» توجه کرده و خواست از این روى کرد نتیجه بگیرد.
جان والیس(1616 تا 1703م) به کار خواجه نصیرالدین و شیوهى استدلال او دلبستگى پیدا کرده و در سال 1651م استدلال او را در کلاس درس دانشگاه اکسفورد به کار برد.
ولی آنگونه که گویند: خود اقلیدس از این اصل و دست آوردهاى آن ناخشنود بود وچشم به پیدایش هندسه نا اقلیدسى دوخت.
کار دیگر و جالبی که توسط خیام انجام شد، نقد و بحثی بود که وی درباره مسائل هندسی که اقلیدس مطرح و اصول هندسی که اقلیدس آنها را تدوین کرده بود، انجام داد. وی به بحث در خصوص تاریخچه بحثهای هندسی در یونان پرداخت و نظرات جدیدی در خوصوص برخی اصول، نظیر اصل مهم هندسه اقلیدسی یعنی اصل توازی مطرح کرد. خیام در این دوره بحثی را آغاز کرد که بعدها باعث گسترش مفهوم عدد شد. در این دوره اعدادی که شناخته شده بودند تنها بخشی از عددهای حقیقی را در بر می گرفتند و هنوز اعداد اصم شناخته شده نبودند. خیام با بحثی که بر سر تعریف نسبت – که در کتاب اصول اقلیدس آمده است بیان می کند تعریف اسلامی نسبت عروف شده جایگزین میکند و سپس با توجه به تعریف جدید مفهومی از نسبت قطر یک مربع به ضلع آن را ارائه می کند. امروزه این عدد را می شناسیم و به عنوان عددی اصم از آن یاد می کنیم؛ اما در زمان خیام این موجودات وجود نداشتند و خیام بر این عقیده بود که باید برای آنها رده جدیدی از اعداد در نظر گرفته شود. تا تعریف نسبت بتواند به طور فراگیر و کامل ادراک شود. این بحثی بود که سرانجام شکافهای موجود در محور اعداد حقیقی را کاهش داد و باعث شد بحث اعداد حقیقی مطرح شود.
هندسه ی نا اقلیدسی:
نیکلای ایوانویچ لباچفسکی،از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.
نیکلای ایوانویچ لباچفسکی،از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.
در میان اصول هندسه اصلی وجود دارد که به این صورت بیان می شود: از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی- در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند- به موازات آن خط رسم کرد.
در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود.چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند مقایسه کنید.
حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.
لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.
او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد:
“از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد ”
هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
هندسه هذلولوى نا اقلیدسى :
در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود.چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند مقایسه کنید.
حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.
لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.
او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد:
“از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد ”
هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
هندسه هذلولوى نا اقلیدسى :
بولیایى (1775تا 1856م) و لباچفسکى(1793 تا 1856م) در اوایل سده نوزدهم هندسهى نااقلیدسى را کشف کردند، اما کشف آن به وسیلهى یک کشیش ««زوئیت» ایتالیایى تقریبا صد سال پیش تر صورت پذیرفته بود، همچنین اندکى بعد در آلمان:یوهان هاینریخ لامبرت(1718 تا 1777م) نیز به کشف هندسهى نا اقلیدسى بسیار نزدیک شد، به بیان دیگر ،هندسه نا اقلیدسى را نه یک تن بلکه تنى چند در نقاط مختلف جهان بىارتباط به یکدیگر کشف کردند، مثلا گاوس(1777تا 1855م) در آلمان، بولیایى درمجارستان(هنگرى) لباچفسکى در روسیه به این کشف دست یافتند، گاوس همان راه ساکرى و لامبرت که با آثارشان آشنایى داشت را مىپیمود، و لباچفسکى نبوغ گاوس را صحه گذاشت و گفت: هیچ برهان قطعى دربارهى اصل پنجم وجود ندارد. وى در نظریهى جدید خاطرنشان ساخت که از هر نقطه بیش از یک خطا به موازات خط مفروضى مىتوان رسم کرد، و مجموع زاویههاى مثلث کمتر از دو قائمه است. کاربرد این هندسه در سطوح منحنى چون سطح یک زین اسب است، و مىتوان در آن عدهى فراوانى خطوط ژئودزى( خطوط مستقیم در سطح مستوى هندسه اقلیدسى) رسم کرد که هیچ یک از آنها هر چه به هر سو هم کشیده شوند یک خط ژئودزى معین را قطع نمىکنند.
بر این اساس، در سطح یک زین مجموع سه زاویه مثلثى که تشکیل مىشود همواره کوچکتر از دو زاویه قائمه است، و اختلاف بستگى به اندازه مثلث دارد. سطوحى که داراى خواص یک سطح زینى (هندسه هذلولوى) هستند انحناء و سطوح منفى نام دارند.
هندسه نا اقلیدسى بیضوى :
برنهاردیمان (1826 تا 1866م) شاگرد گاوس در یک سخنرانى گفت: فضا لازم نیست نامتناهى باشد هر چند بى مرز تصور شود، یعنى مىتوان گفت: دو خط با هم موازى نیستند و مجموع زاویههاى یک مثلثبزرگتر از دو قائمه است و فضا از سه جهت (طول، عرض، ژرفا) بسط یافته است، و این حالت مخالف با سطح زین را با هندسه بر سطح یک کره نشان مىدهند، در این حالت کروى خطوط ژئودزى همان قوسهاى دایره عظیمه هستند و هر دو دایره عظیمه غیر مشخص همواره یکدیگر را در دو نقطه قطع مىکنند و خطوط موازى به هیچ وجه وجود ندارند.
در این هندسه مجموعهى سه زاویهى مثلث همواره بزرگتر از دو قائمه است .سطوح این هندسه با انحناى مثبتشناخته شدهاند.
روش و طرز کار ریاضى براى توصیف فضاهاى سه بعدى منحنى و نیز فضاهاى منحنى با ابعاد بیشتر توسط ریمان تکمیل شد و براى استفاده اینشتاین وقتى که فکر ملا اتصالى ( زمان و بعد چهارم) را تصور کرد آماده بود.
بر این اساس، در سطح یک زین مجموع سه زاویه مثلثى که تشکیل مىشود همواره کوچکتر از دو زاویه قائمه است، و اختلاف بستگى به اندازه مثلث دارد. سطوحى که داراى خواص یک سطح زینى (هندسه هذلولوى) هستند انحناء و سطوح منفى نام دارند.
هندسه نا اقلیدسى بیضوى :
برنهاردیمان (1826 تا 1866م) شاگرد گاوس در یک سخنرانى گفت: فضا لازم نیست نامتناهى باشد هر چند بى مرز تصور شود، یعنى مىتوان گفت: دو خط با هم موازى نیستند و مجموع زاویههاى یک مثلثبزرگتر از دو قائمه است و فضا از سه جهت (طول، عرض، ژرفا) بسط یافته است، و این حالت مخالف با سطح زین را با هندسه بر سطح یک کره نشان مىدهند، در این حالت کروى خطوط ژئودزى همان قوسهاى دایره عظیمه هستند و هر دو دایره عظیمه غیر مشخص همواره یکدیگر را در دو نقطه قطع مىکنند و خطوط موازى به هیچ وجه وجود ندارند.
در این هندسه مجموعهى سه زاویهى مثلث همواره بزرگتر از دو قائمه است .سطوح این هندسه با انحناى مثبتشناخته شدهاند.
روش و طرز کار ریاضى براى توصیف فضاهاى سه بعدى منحنى و نیز فضاهاى منحنى با ابعاد بیشتر توسط ریمان تکمیل شد و براى استفاده اینشتاین وقتى که فکر ملا اتصالى ( زمان و بعد چهارم) را تصور کرد آماده بود.
کیهان شناسى اینشتین :
آلبرات اینشتین (1879تا 1955م) کیهان شناسى خود را بر پایه هندسه غیر اقلیدسى بنا نهاد که در آن حجم جهان، محدود تلقى مىشود، در هندسه او (بیضوى) سه زاویه مثلثبیش از 180 درجه است، و چنان چه خط مستقیمى تا بىنهایت ادامه یابد نهایتا به نقطه آغاز برمىگردد، یعنى خط مستقیم با انحناء مشخص انحناء مىیابد، و این شعاع نشانگر اندازهى جهان است، این نوع جهان فاقد کرانه و فضاى خالى خواهد بود، و کهکشانها و ستارگان با توزیع همگن، کل آن را خواهند پوشاند و تعداد محدودى ستاره و کهکشان در حجم محدود آن وجود خواهند داشت.
طرفداران این نظریه معتقدند با این روش (هندسه بیضوى) امکان دارد به تبیین جهان پرداخت، در این مدل، جهان ایستا و بدون انبساط است، اینشتین به این نکته پى برد که جهان نه همانند مدل «نیوتون» نامحدود است و نه مىتوان محدود و احاطه شده به یک جهان تهى باشد، بلکه فضا با انحناى مثبتبیانگر محدودیت جهان است.
در معادلات اینشتین شعاع جهان حدود 20 میلیارد ( 1010×2) پارسک به دست مىآید، یعنى تقریبا برابر 20/65 میلیارد سال نورى.
لیکن این نظریه با کشف نسبیت ، با اشکالهاى پیچیده و بغرنجى از جانب خود اینشتین روبه رو گشت .
مدل هندسه اقلیدسى از سوى اصل پنجم، دو بعدى بودن و... مخدوش شمرده شده وکوششهاى دانشمندان از خود اقلیدس گرفته تا سایران در استدلالى کردن آن به نتیجهاى نرسیده است.
آلبرات اینشتین (1879تا 1955م) کیهان شناسى خود را بر پایه هندسه غیر اقلیدسى بنا نهاد که در آن حجم جهان، محدود تلقى مىشود، در هندسه او (بیضوى) سه زاویه مثلثبیش از 180 درجه است، و چنان چه خط مستقیمى تا بىنهایت ادامه یابد نهایتا به نقطه آغاز برمىگردد، یعنى خط مستقیم با انحناء مشخص انحناء مىیابد، و این شعاع نشانگر اندازهى جهان است، این نوع جهان فاقد کرانه و فضاى خالى خواهد بود، و کهکشانها و ستارگان با توزیع همگن، کل آن را خواهند پوشاند و تعداد محدودى ستاره و کهکشان در حجم محدود آن وجود خواهند داشت.
طرفداران این نظریه معتقدند با این روش (هندسه بیضوى) امکان دارد به تبیین جهان پرداخت، در این مدل، جهان ایستا و بدون انبساط است، اینشتین به این نکته پى برد که جهان نه همانند مدل «نیوتون» نامحدود است و نه مىتوان محدود و احاطه شده به یک جهان تهى باشد، بلکه فضا با انحناى مثبتبیانگر محدودیت جهان است.
در معادلات اینشتین شعاع جهان حدود 20 میلیارد ( 1010×2) پارسک به دست مىآید، یعنى تقریبا برابر 20/65 میلیارد سال نورى.
لیکن این نظریه با کشف نسبیت ، با اشکالهاى پیچیده و بغرنجى از جانب خود اینشتین روبه رو گشت .
مدل هندسه اقلیدسى از سوى اصل پنجم، دو بعدى بودن و... مخدوش شمرده شده وکوششهاى دانشمندان از خود اقلیدس گرفته تا سایران در استدلالى کردن آن به نتیجهاى نرسیده است.
هندسه نااقلیدسى و نسبیت عام اینشتین:
در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند. که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم بسیار پررونق بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند.
هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد که هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسکى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد که نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیکدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مکان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه((ریمانی)) است. در این نظریه هندسه زمان و مکان به جاى آن که صاف باشد منحنى است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشکارى میان ریاضیات محض و ریاضیات کاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است که به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه کاربردى، کاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه کاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند که بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حرکت، زمان و مکان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حرکت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده کرد. بدین منظور هندسه((ریمانی)) را برگزید.
هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یک صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یک چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا کرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نورمستقیم نیست بلکه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است که سطح کرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى که بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آیدخط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى کوتاه ترین خطوط بین نقاط حرکت مى کند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنادر مکان - زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامى است که ما به اثر انحناى زمان ـ مکان بر حرکت اشیا می دهیم. آزمون هاى عملى ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد که ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت که ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه کرد به طورى که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى که اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهندکه پدیده هایى سازگار با زمان ـ مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به((قراردادگرایى)) مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوى((هنرى پوانکاره)) ابراز شد. اما نظریه هایى که بدین طریق به دست مى آوریم ممکن است کاملاً جعلى و موقتى باشند. اما آیا دلایل کافى براى رد آنها وجود
در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند. که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم بسیار پررونق بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند.
هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد که هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسکى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد که نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیکدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مکان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه((ریمانی)) است. در این نظریه هندسه زمان و مکان به جاى آن که صاف باشد منحنى است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشکارى میان ریاضیات محض و ریاضیات کاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است که به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه کاربردى، کاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه کاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند که بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حرکت، زمان و مکان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حرکت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده کرد. بدین منظور هندسه((ریمانی)) را برگزید.
هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یک صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یک چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا کرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نورمستقیم نیست بلکه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است که سطح کرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى که بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آیدخط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى کوتاه ترین خطوط بین نقاط حرکت مى کند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنادر مکان - زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامى است که ما به اثر انحناى زمان ـ مکان بر حرکت اشیا می دهیم. آزمون هاى عملى ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد که ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت که ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه کرد به طورى که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى که اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهندکه پدیده هایى سازگار با زمان ـ مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به((قراردادگرایى)) مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوى((هنرى پوانکاره)) ابراز شد. اما نظریه هایى که بدین طریق به دست مى آوریم ممکن است کاملاً جعلى و موقتى باشند. اما آیا دلایل کافى براى رد آنها وجود
نوشته شده توسط گروه فرهنگ | نظرات دیگران [ نظر]
لیست کل یادداشت های این وبلاگ
